“Carreau einstein” : un retraité résout un vieux problème mathématique

Le carreau Einstein reste un casse-tête qui intrigue les amateurs de défis intellectuels depuis de nombreuses années. En mars, David Smith, technicien d’imprimerie à la retraite, a fait une découverte remarquable dans le monde des mathématiques. Il a découvert une forme à 13 côtés capable de recouvrir entièrement une surface sans jamais se répéter. Le Britannique de 64 ans a résolu une énigme mathématique dont les plus grands cerveaux n’étaient jamais venus à bout.

Une révolution en mathématiques

Il y a quelques mois, on a annoncé qu’un retraité anglais avait découvert un « carreau Einstein », c’est-à-dire une forme qui s’imbrique à l’infini sans qu’il n’y ait jamais de répétition du motif. Cette forme à 13 côtés porte le surnom de « chapeau » pour sa forme vaguement similaire à un fedora. La découverte de Smith avait néanmoins une faille. Pour créer ce pavage non répétitif, « le chapeau » devait travailler avec son image miroir. Même si c’était la même forme inversée, certains ont soutenu que Smith n’avait pas vraiment trouvé un véritable Einstein.

Toutefois, il faut croire que Smith et ses collègues ont résolu l’énigme. Ils ont découvert une forme capable de paver une surface sans se répéter ni être retournée : le « Spectre ». Ce nom s’inspire des vampires qui ne peuvent pas voir leur propre reflet. Cette forme est donc une sorte de « vampire Einstein ». L’équipe est partie de la forme « chapeau » originale et y a ajouté un côté supplémentaire afin d’obtenir cette nouvelle forme. Celle-ci nécessitait toujours son image miroir pour un pavage complet, mais les chercheurs ont constaté qu’en transformant les arêtes droites de la forme à 14 côtés en courbes, ils pouvaient se passer de l’image miroir et travailler avec une seule forme.

The new aperiodic monotile discovered by Dave Smith, Joseph Myers, Craig Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss, rendered as shirts and hats. The hat tiles are mirrored relative to the shirt tiles. pic.twitter.com/BwuLUPVT5a
— Robert Fathauer (@RobFathauerArt) March 21, 2023

L’énigme a perduré

Depuis 1961, les mathématiciens se demandaient si une telle forme existait. Dans un premier temps, les mathématiciens ont trouvé un ensemble de 20 426 formes pouvant être assemblées en créant un motif qui ne se répète jamais. Finalement, les mathématiciens ont trouvé un ensemble de 104 formes capables de créer un tel motif qui ne se répète jamais.

Aujourd’hui, Smith et ses collègues ont mis fin à cette énigme. L’étude est disponible sur la plateforme de prépublication arXiv.

Par Arielle Lovasoa, le 22 juin 2023