Un mathématicien vient de résoudre le plus vieux problème d’algèbre

Un nouveau jalon a été atteint dans le domaine de l’algèbre grâce à une découverte audacieuse. Deux chercheurs, Norman Wildberger, mathématicien et professeur honoraire à l’université de Nouvelle-Galles du Sud, et Dean Rubine, informaticien, ont mis au point une méthode révolutionnaire pour résoudre les équations polynomiales d’ordre supérieur à quatre. Pendant plus de deux siècles, ces problèmes étaient jugés insolubles à l’aide des méthodes classiques, mais cette avancée pourrait changer la donne.

Une solution à un problème considéré comme impossible

Jusqu’à présent, les équations polynomiales dépassant la quatrième puissance ne pouvaient être résolues que de manière approximative. Cette limitation, bien qu’insignifiante pour de nombreux étudiants en mathématiques, a des implications importantes pour la science et la technologie. « Notre découverte relance un chapitre de l’histoire des mathématiques que l’on croyait clos », affirme Norman Wildberger.

Lire aussi Un zoo sauve un adorable bébé singe-araignée, une espèce menacée, après une saisie de drogue

La méthode est basée sur une approche innovante qui rejette certaines notions traditionnelles, telles que les radicaux et les nombres irrationnels. Leurs travaux rouvrent un chapitre que l’histoire des mathématiques avait depuis longtemps refermé. Les résultats de leur étude ont été publiés dans The American Mathematical Monthly.

Les nombres catalans et une nouvelle séquence mathématique

La clé de cette percée réside dans une branche des mathématiques appelée combinatoire, et plus spécifiquement dans une célèbre séquence connue sous le nom de « nombres catalans ». Ces nombres servent à dénombrer les différentes façons de diviser un polygone en triangles. 

En s’appuyant sur cette idée, Rubine et Wildberger ont inventé une nouvelle séquence qu’ils nomment « nombres hyper-catalans ». Ce nouvel outil mathématique établit un lien entre algèbre et géométrie, permettant ainsi de résoudre des polynômes de n’importe quel degré.

Lire aussi Cette illusion de la relativité restreinte d’Einstein observée en laboratoire

Cette innovation a conduit les chercheurs à identifier un modèle qu’ils ont baptisé « la géode ». Inspirée de la géologie, la géode est ainsi nommée parce qu’elle dévoile des structures mathématiques complexes, à l’image des cristaux cachés à l’intérieur de certains rochers. En d’autres termes, ce modèle organise la complexité des nombres hyper-catalans en une structure géométrique claire, facilitant ainsi la résolution d’équations.

Une méthode validée par des tests historiques

Pour vérifier leur approche, les chercheurs ont appliqué leur méthode à des problématiques historiques. Par exemple, ils ont résolu une célèbre équation cubique utilisée au XVIIe siècle par le mathématicien John Wallis pour illustrer la méthode de Newton. « Notre solution a brillamment fonctionné », se réjouit Wildberger.

Cette méthode permet de franchir une barrière mathématique vieille de 200 ans, en surmontant les limitations des méthodes traditionnelles enseignées à l’école, telles que la résolution par les racines. « Les nombres catalans sont liés à l’équation quadratique. Notre innovation a consisté à chercher des analogues plus avancés pour résoudre des équations de degrés supérieurs », explique Wildberger. 

Lire aussi Finalement, ces traînées sombres sur Mars ne seraient pas liées à un écoulement d’eau liquide

En développant ces extensions, ils ont pu construire une méthode qui, logiquement, mène à une solution générale pour les équations polynomiales, quelle que soit leur complexité. Par ailleurs, un homme a gagné 14 fois à la loterie en utilisant un principe mathématique simple.