Les mathématiciens ont trouvé la solution à un problème extrêmement complexe vieux de 90 ans

Le chaos est un problème souvent difficile à résoudre, surtout dans le domaine des mathématiques. Si c’est difficile, ce n’est pas impossible. C’est un exploit que des mathématiciens ont récemment réalisé en résolvant un problème relatif à la théorie de Ramsey.

La théorie et les nombres de Ramsey

La théorie de Ramsey est une branche des mathématiques combinatoires qui explore les modèles complexes qui émergent lorsque l’ordre et la structure naissent d’un chaos apparent. Nommé d’après le mathématicien britannique Frank Ramsey, ce domaine vise à découvrir des régularités cachées dans des ensembles vastes et apparemment désordonnés. En des termes plus simples, la théorie de Ramsey traite donc de l’ordre dans le désordre. En tant que telle, c’est une théorie difficile à comprendre, et les problèmes qui y sont liés sont tout aussi difficiles à résoudre.

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C’est ainsi avec allégresse que Jacques Verstraete et Sam Mattheus, des mathématiciens de l’université de Californie à San Diego, ont résolu un problème déroutant de la théorie de Ramsey. Plus précisément, les mathématiciens ont trouvé une solution pour le problème r(4,t). Ce problème découle des nombres de Ramsey qui peuvent être considérés comme représentant les limites du désordre. Les nombres de Ramsey, notés R(r,s), sont des valeurs fondamentales qui représentent le plus petit nombre d’éléments requis pour garantir l’existence d’un modèle ou d’une structure spécifique au sein d’un grand ensemble.

En d’autres termes, ces nombres fournissent la taille minimale d’un ensemble dans lequel une propriété combinatoire particulière doit apparaître. Les nombres de Ramsey sont généralement exprimés sous la forme d’une paire d’entiers, « r » et « s » représentant les paramètres qui définissent le modèle ou la structure spécifique recherchée. Le nombre de Ramsey le plus connu est R(3,3). Souvent appelé le théorème des amis et des étrangers, c’est le nombre de Ramsey pour un graphe complet sur trois sommets au sein d’un graphe non orienté.

Une solution complexe à un problème tout aussi complexe

Pour illustrer ce nombre, on peut supposer que dans un groupe de 6 personnes, il y aura forcément au moins 3 personnes qui se connaissent, et 3 autres qui ne connaissent personne. Ainsi, la réponse au problème du nombre de Ramsey R(3,3) est apparemment 6. Traduits dans des termes mathématiques, les personnes sont remplacées par des points et des lignes. Ainsi, un nombre de Ramsey est un théorème qui stipule qu’un ensemble de points n’aura aucune ligne entre eux, ou qu’un ensemble aura toutes les lignes possibles entre eux.

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Dans ce cas, « r » désigne les « points avec des lignes », et « s » désigne les « points sans lignes ». Si la réponse à R(3,3) est connue depuis longtemps, c’est en 1935 qu’il a été découvert que R(4,4) était égal à 18. Quant à R(5,5), sa solution est encore inconnue. Avant d’arriver à R(5,5), les chercheurs de l’UC San Diego se sont d’abord attelés à trouver une solution estimée pour R(4,t), où « t » signifie que les « points sans lignes » sont variables. Notons que ce genre de problèmes est généralement résolu à l’aide de graphiques aléatoires. Mais les problèmes des nombres de Ramsey ont nécessité une réflexion plus originale.

C’est en utilisant un concept connu sous le nom de graphes pseudoaléatoires que les mêmes mathématiciens ont trouvé une solution pour R(3,t) en 2019. Mais la technique n’a pas marché pour R(4,t). Pour surmonter cette épreuve, ils se sont cette fois-ci tournés vers la géométrie finie. En se basant sur cette méthode, ils ont découvert un pseudographe en géométrie finie appelé configuration O’Nan. Cela a ensuite permis de découvrir que la réponse à R(4,t) était très proche d’une fonction cubique de « t ». Cela signifie que si l’on souhaite avoir un rassemblement où il y aura au moins quatre personnes qui se connaissent, alors il faudrait inviter trois personnes qui ne se connaissent pas. Pour aller plus loin, découvrez ces problèmes mathématiques si complexes que personne ne les a jamais résolus.