Qu’est-ce que le paradoxe des anniversaires ?

Il existe dans la vie des choses que certains considèrent comme étant le destin, que d’autres estiment être le hasard, et que d’autres encore expliquent par la science. L’une de ces choses étant la probabilité que l’anniversaire de plusieurs personnes dans un même groupe tombe le même jour. On parle alors du paradoxe des anniversaires.

Une probabilité qui semble erronée, mais qui est correcte

Étant donné que les mathématiques sont considérées comme une science exacte, cela ne laisse pas beaucoup de place aux erreurs et à l’ambiguïté. Pourtant, même avec les mathématiques, il est parfois possible que quelque chose qui semble logique se révèle être faux. C’est le cas avec le paradoxe des anniversaires. Ce fameux paradoxe stipule que dans un groupe de seulement 23 personnes rassemblées au hasard, il y a 50 % de chance qu’au moins deux personnes aient le même anniversaire.

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Si le nombre de personnes augmente à 75, il y aurait alors 99,9 % de chance qu’au moins deux personnes aient le même anniversaire. Intuitivement, on peut affirmer que ces chiffres sont un peu excessifs. Pourtant, il s’agit d’une vérité mathématique implacable. En effet, même si cela semble faux, c’est un résultat correct et logique. L’explication mathématique la plus facile est de calculer la probabilité que les personnes n’aient pas la même date d’anniversaire.

L’explication mathématique au paradoxe des anniversaires

Au cours d’une année, il y a 365 possibilités pour la date d’anniversaire d’une personne. La probabilité qu’une personne n’ait pas le même anniversaire qu’une autre personne est de 364 divisé par 365, puisqu’il y a 364 jours qui ne sont pas l’anniversaire de la première personne. Cela signifie que deux personnes ont 364/365, ou 99,73 %, de chances de ne pas avoir la même date d’anniversaire. Si l’on prend le cas d’un groupe de 23 personnes, il y a 253 comparaisons qui peuvent être faites.

Chacune des 253 comparaisons a les mêmes chances de 99,73 % de ne pas correspondre. Si l’on multiplie 99,73 % par 99,73 en le faisant 253 fois – ou on calcule (364/365)²⁵³ –, on constate qu’il y a 49,95 % de chance que les 253 comparaisons ne contiennent aucune correspondance. Par conséquent, la probabilité qu’il y ait une correspondance de date d’anniversaire dans ces 253 comparaisons est de 1 moins 49,952 % ; ce qui est égal à 50,05 %. Cela signifie que la probabilité qu’il y ait une correspondance est plus élevée que la probabilité qu’il n’y en ait pas.

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Bien que cela peut sembler étranger – et c’est d’ailleurs pour cette raison qu’il s’agit d’un paradoxe – il s’agit d’un calcul mathématique tout à fait correct qui est utilisé et appliqué dans de nombreux domaines. Appliquer le paradoxe des anniversaires est notamment courant en cas d’attaque cryptographique. Dans ce cas-là, on utilise ce modèle probabiliste pour réduire la complexité de la recherche d’une collision pour une fonction de hachage, ainsi que pour calculer le risque approximatif d’une collision de hachage dans une table de hachage donnée.