Des infinis récemment découverts pourraient remettre en question l’univers des mathématiques

Récemment, une découverte inattendue dans le domaine des mathématiques a secoué les fondements de notre compréhension de l’infini. Une étude, qui n’a pas encore été validée par la communauté scientifique, présente des résultats qui pourraient redéfinir des concepts mathématiques cruciaux, notamment la théorie des grands cardinaux. La théorie des ensembles, un domaine réputé pour son caractère abstrait et contre-intuitif, pourrait avoir trouvé des éléments qui redéfinissent ce que nous savons sur l’infini.

L’infini

L’infini, bien qu’il semble simple, est un concept qui dépasse souvent l’intuition humaine. Il ne se limite pas à une seule taille ou forme ; en mathématiques, plusieurs types d’infinis coexistent. Par exemple, les ensembles d’entiers, de nombres pairs ou de fractions partagent une taille infinie commune, désignée ℵ0 (aleph-null). 

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Cependant, l’ensemble des réels, qui inclut à la fois les rationnels et les irrationnels, représente un infini beaucoup plus vaste. Cela amène les mathématiciens à explorer des structures encore plus grandes, comme les grands cardinaux, pour comprendre les limites de ce que nous pouvons concevoir. La théorie des ensembles, qui traite des questions les plus profondes de l’infini, va au-delà de ce que l’on peut démontrer avec les axiomes standards des mathématiques. 

Au cœur de cette recherche se trouve la question de savoir quelles vérités mathématiques peuvent être prouvées et quelles hypothèses doivent être acceptées sans preuve. Ce dilemme mène les mathématiciens dans les « grands cardinaux », ces nombres tellement grands qu’il est impossible de prouver leur existence en suivant les axiomes standards des mathématiques. Mais certains grands cardinaux peuvent entrer en contradiction avec des axiomes essentiels comme l’axiome du choix, nécessaire dans la plupart des mathématiques modernes.

La découverte de nouveaux cardinaux

Les grands cardinaux sont des entités qui échappent aux règles habituelles des mathématiques. Ils ne peuvent être prouvés à partir des axiomes traditionnels, mais leur existence est supposée pour étudier les fondements des mathématiques. Les mathématiciens ont longtemps utilisé ces hypothèses pour comprendre la structure sous-jacente de l’univers mathématique et résoudre des problèmes complexes. Parmi ces grands cardinaux, on distingue des catégories comme les cardinaux inaccessibles et mesurables, qui ont des propriétés particulières et jouent un rôle essentiel dans l’étude des mathématiques infinies.

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Les récentes découvertes, incluant les cardinaux dits « exacts » et « ultra-exacts », introduisent une nouvelle dimension dans cette hiérarchie des infiniment grands. Ces cardinaux, qui résident dans les niveaux supérieurs des grands cardinaux, sont compatibles avec l’axiome du choix et sont relativement faciles à accepter pour les mathématiciens. Cependant, comment s’intègrent-ils dans l’ordonnancement des infinis ?

Ces nouveaux cardinaux interagissent de manière inattendue avec les autres notions d’infini. Par exemple, ils peuvent amplifier l’impact d’autres infinis, modifiant ainsi la manière dont nous comprenons la taille relative des différentes catégories d’infini. Un problème central réside dans le concept de « définissabilité ordinale héréditaire », qui implique qu’un ensemble, même infini, peut être compris en le « comptant ». Si cette idée pouvait être généralisée, cela apporterait de la structure dans le monde des grands cardinaux, permettant de rétablir une certaine cohérence avec l’axiome du choix.

L’impact sur la conjecture HOD 

L’un des grands enjeux de cette découverte est son impact potentiel sur la conjecture HOD (Hyperuniverse of Definable Sets). Cette conjecture stipule que l’univers mathématique est essentiellement ordonné et proche des objets mathématiques définissables. Jusqu’à présent, la plupart des théoriciens des ensembles considéraient cette conjecture comme probable, car elle semblait corroborée par des travaux antérieurs sur les grands cardinaux. 

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Pour la conjecture HOD, ces nouveaux résultats sont problématiques, bien que leur impact ne soit pas une réfutation directe. Ils remettent en question les intuitions dominantes, mais ne détruisent pas complètement l’idée d’un univers mathématique ordonné.

Bien que cela puisse sembler perturbant, cette découverte ouvre la porte à un nouveau monde d’infinis, avec des implications qui nécessitent une exploration plus poussée. Les mathématiciens, comme Bagaria et ses collègues, continuent de travailler sur ces concepts de cardinaux exacts et ultra-exacts, qui pourraient bien être les premières manifestations d’un nouveau type d’infini. Par ailleurs, la « conjecture du lit superposé » en mathématiques a été réfutée après près de 40 ans.