Une équation d’algèbre vieille de 3 700 ans percée à jour : un chercheur australien a déverrouillé ce casse-tête historique

Pendant près de deux siècles, les mathématiciens ont considéré qu’il était impossible de trouver une formule générale pour résoudre les équations polynomiales de degré cinq et plus. Ce constat, établi par Évariste Galois en 1832, semblait définitif. Cependant, un professeur australien vient de rouvrir ce chapitre oublié des mathématiques. Sa méthode, à la fois audacieuse et rigoureuse, bouleverse les fondements de l’algèbre classique.

Une impossibilité mathématique remise en cause

Pour comprendre ce bouleversement, il faut revenir aux origines. Dès l’Antiquité, les Babyloniens savaient résoudre les équations du second degré. Ils utilisaient une méthode appelée « complétion du carré », qui a ensuite donné naissance à la formule quadratique, toujours enseignée dans les écoles aujourd’hui.

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Au fil du temps, les mathématiciens ont repoussé les limites. Au XVIe siècle, ils parviennent à résoudre les équations de degré trois et quatre en utilisant des radicaux, ces fameuses racines carrées, cubiques et au-delà. Toutefois, à partir du degré cinq, cette méthode ne fonctionne plus. Galois le démontre formellement : aucune formule universelle utilisant des radicaux ne permet de résoudre tous les polynômes de degré supérieur.

Dès lors, la communauté scientifique admet qu’il s’agit d’une limite naturelle des mathématiques. Aucun chercheur ne remet sérieusement ce principe en cause, jusqu’à aujourd’hui.

Une approche novatrice fondée sur la rigueur logique

Norman Wildberger, professeur honoraire à l’université de Nouvelle-Galles du Sud à Sydney, adopte un point de vue radicalement différent. Selon lui, le blocage ne vient pas de la nature des équations, mais des outils que nous utilisons pour les résoudre. Plus précisément, il remet en question l’usage des radicaux et des nombres irrationnels, qu’il juge incohérents.

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En effet, les nombres irrationnels, comme la racine cubique de 7, produisent des décimales infinies et non répétitives. Autrement dit, ils ne peuvent jamais être pleinement calculés. Wildberger affirme que leur existence mathématique repose sur une illusion logique : « Il faudrait un disque dur plus grand que l’Univers pour en stocker la valeur exacte », souligne-t-il.

C’est pourquoi il propose une alternative : l’usage des séries entières. Ces expressions mathématiques, composées d’une infinité de puissances de x, permettent d’approcher très précisément une solution, tout en restant dans un cadre strictement rationnel. Ainsi, sa méthode contourne les irrationnels au lieu de les intégrer.

Des structures combinatoires au cœur de la solution

Cependant, ce n’est pas la seule innovation. Avec l’informaticien Dean Rubine, Wildberger s’appuie sur les nombres de Catalan, bien connus des combinatoriciens. Ces suites permettent de compter les façons de découper un polygone en triangles, entre autres applications.

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Or, les deux chercheurs vont beaucoup plus loin. Ils inventent une extension multidimensionnelle de cette suite, qu’ils nomment « Geode ». Cette structure géométrique abstraite, mais parfaitement définie, devient la pierre angulaire de leur approche. Elle permet d’encoder les relations nécessaires à la résolution de n’importe quel polynôme, même de degré cinq.

Ainsi, leur méthode repose à la fois sur une nouvelle logique algébrique et sur une géométrie discrète. Et surtout, elle fonctionne : testée sur des équations historiques, comme celles utilisées par Newton, elle donne des résultats précis, sans faire appel aux radicaux.

Vers une nouvelle ère pour les mathématiques appliquées

Cette découverte, bien qu’encore récente, ouvre déjà de nombreuses perspectives. En effet, la méthode pourrait améliorer de manière significative les algorithmes utilisés en informatique, en intelligence artificielle ou encore en modélisation scientifique.

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Jusqu’ici, les solutions aux équations polynomiales complexes reposaient sur des approximations numériques. Désormais, une alternative rigoureuse, plus stable et plus logique, s’offre aux chercheurs.

Enfin, Wildberger estime que la structure de la Geode n’a pas livré tous ses secrets. Elle pourrait, à terme, devenir un nouvel objet central des mathématiques. De nombreux spécialistes de la combinatoire commencent déjà à s’y intéresser. Autrement dit, cette percée pourrait bien marquer le début d’un nouveau chapitre dans l’histoire de l’algèbre.