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La géométrie est une branche des mathématiques qui étudie les formes, les tailles et les relations spatiales. Elle a une origine ancienne et a connu de nombreux développements au cours de l’histoire. Dans cet article, nous allons retracer les grandes étapes de l’évolution de la géométrie, depuis les premières conceptions de la forme de la Terre jusqu’à la théorie de la relativité d’Einstein.
Les débuts de la géométrie
Le mot “géométrie” vient du grec “geometria”, qui signifie “mesure de la terre”. En effet, la géométrie est née de la nécessité de mesurer et de cartographier le sol, ainsi que de résoudre des problèmes pratiques liés à la construction, à l’agriculture ou à l’astronomie. Les premières traces de géométrie remontent à environ 3000 av. J.-C., chez les civilisations anciennes de la vallée de l’Indus, de la Babylonie ou de l’Égypte.
Ces civilisations avaient également des idées différentes sur la forme de la Terre. Par exemple, Homère imaginait la Terre comme un disque plat entouré par un fleuve, tandis que les Égyptiens la représentaient comme un œuf. Les Aztèques pensaient que le monde était carré, tandis qu’Eschyle le décrivait comme un parallélogramme.
La géométrie grecque
Les Grecs ont hérité des connaissances géométriques des civilisations précédentes et les ont approfondies en les organisant dans un cadre logique et rigoureux. Ils ont aussi reconnu le lien entre la géométrie et la nature de l’espace et des nombres. Parmi les grands noms de la géométrie grecque, on peut citer Thalès, Pythagore, Platon ou Aristote.
Le plus célèbre d’entre eux est sans doute Euclide, qui a vécu à Alexandrie vers le IIIe siècle av. J.-C. Il a écrit un traité intitulé Les Éléments, qui rassemble et systématise les connaissances géométriques de son époque. Il a fondé sa géométrie sur cinq postulats, c’est-à-dire des principes indémontrables et universellement acceptés. À partir de ces postulats, il a déduit une multitude de théorèmes par un raisonnement logique.
Le postulat des parallèles
Parmi les cinq postulats d’Euclide, il y en a un qui a suscité beaucoup de débats et de controverses : le cinquième postulat, aussi appelé postulat des parallèles. Il énonce que :
Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.
Ce postulat semblait moins évident et plus complexe que les autres, ce qui a poussé de nombreux mathématiciens à essayer de le démontrer à partir des quatre premiers postulats. Mais tous leurs efforts ont été vains.
Ce n’est qu’au XIXe siècle que l’on s’est rendu compte que le cinquième postulat d’Euclide n’était pas nécessaire ni universel. En effet, on peut imaginer des géométries où ce postulat n’est pas vrai. Par exemple, sur une sphère, il n’existe pas de parallèles : toutes les droites (c’est-à-dire les grands cercles) se coupent en deux points. On appelle ces géométries des géométries non euclidiennes.
La géométrie non euclidienne
La géométrie non euclidienne est une théorie géométrique qui modifie ou rejette le cinquième postulat d’Euclide. Elle a été découverte indépendamment par plusieurs mathématiciens au début du XIXe siècle, comme Gauss, Bolyai ou Lobatchevski. Ces mathématiciens ont montré qu’il était possible de construire une géométrie cohérente sans le postulat des parallèles.
Par exemple, dans la géométrie hyperbolique, il existe une infinité de parallèles à une droite passant par un point extérieur. Dans cette géométrie, la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180° et les cercles ont une circonférence plus grande que 2π fois leur rayon.
La géométrie non euclidienne a ouvert un nouveau champ d’exploration pour les mathématiciens et a eu des conséquences importantes sur notre vision du monde.
La théorie de la relativité générale
L’un des plus grands bouleversements apportés par la géométrie non euclidienne concerne notre compréhension de l’Univers. En 1915, Albert Einstein a proposé sa théorie générale de la relativité, qui décrit la gravitation comme une propriété géométrique de l’espace-temps.
Selon cette théorie, l’espace-temps est courbé par la présence et le mouvement de la matière et de l’énergie. La courbure détermine le chemin suivi par les corps célestes et par la lumière. Ainsi, l’Univers n’est pas régi par la géométrie euclidienne mais par une géométrie non euclidienne variable selon les endroits.
La théorie d’Einstein a permis d’expliquer des phénomènes astronomiques comme le décalage vers le rouge des étoiles lointaines ou le déplacement du périhélie de Mercure. Elle a aussi prédit l’existence des ondes gravitationnelles ou des trous noirs.
La théorie d’Einstein montre que la géométrie n’est pas seulement un outil abstrait pour décrire les formes et les mesures mais qu’elle est intimement liée à la réalité physique.
La géométrie est une discipline fascinante qui retrace l’évolution de notre connaissance du monde. Elle nous montre comment l’être humain a pu passer d’une vision intuitive et empirique à une vision rationnelle et logique. Elle nous montre aussi comment l’être humain a pu remettre en question ses certitudes et découvrir des réalités nouvelles et surprenantes. La géométrie est donc un témoignage de la curiosité et de l’ingéniosité humaines face aux mystères de l’Univers.