Après 50 ans de recherche, les mathématiciens résolvent un problème clé du ruban de Möbius

Il existe en mathématiques de nombreuses énigmes qui n’ont pas pu être résolues pendant des dizaines, voire des centaines d’années. Celle du ruban de Möbius en fait partie. Il semblerait cependant qu’après près de 50 ans de recherche, ce problème ait enfin été résolu.

Qu’est-ce que le problème de la bande de Möbius ?

Une bande de Möbius est un objet mathématique et une forme géométrique qui peuvent être formés en prenant une longue bande de papier ou de ruban, en lui donnant une demi-torsion, puis en reliant les extrémités ensemble pour former une boucle. Ce qui rend un ruban de Möbius intrigant, c’est sa propriété unique d’être non orientable, ce qui signifie qu’il n’a qu’un seul côté et un seul bord. Si l’on doit tracer un chemin le long de la surface d’une bande de Möbius, on reviendra au point de départ après avoir traversé ce qui semble être à la fois les surfaces intérieure et extérieure, même s’il n’y a qu’une seule surface continue.

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Cette caractéristique particulière fait du ruban de Möbius un sujet d’étude captivant en mathématiques, en art et en sciences. Les énigmes autour du ruban de Möbius remettent en question les intuitions naturelles sur l’espace et la topologie (une branche des mathématiques qui étudie les propriétés de l’espace préservées sous des déformations continues). Elles invitent aussi à l’exploration de la nature des objets mathématiques qui défient nos perceptions spatiales quotidiennes.

Une réponse à l’une des énigmes de la bande de Möbius

Dans une nouvelle étude, le mathématicien de l’université Brown, Richard Schwartz, a proposé une nouvelle solution à l’une des énigmes du ruban de Möbius. Il a notamment répondu à la question : quelle taille minimale doit avoir une bande pour pouvoir former un ruban de Möbius ? Notons qu’il n’est pas le premier scientifique à se poser cette question. Elle a été posée pour la première fois à la fin des années 1970 par les deux mathématiciens, Charles Sidney Weaver et Benjamin Rigler Halpern.

En se posant cette question, ils ont notamment découvert que le problème pouvait être simplifié en autorisant les auto-intersections. Cela a transformé le problème en un problème impliquant la recherche de la longueur minimale de bande nécessaire pour éviter les auto-intersections. D’après les deux scientifiques, cette limite doit être supérieure ou égale à √3 (soit environ 1,73) pour le rapport entre la longueur et la largeur du papier. Même si cette limite semblait pertinente, Halpern et Weaver n’ont pas pu apporter suffisamment de preuves pour confirmer cette hypothèse.

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Après quatre années de recherche sur le sujet, Richard Schwartz a réussi à fournir ces preuves tant recherchées. Pour ce faire, il a décidé de décomposer le problème en plusieurs morceaux, puis d’utiliser des principes géométriques pour résoudre le puzzle dans son ensemble. Dans un premier temps, il a constaté qu’il y avait une erreur majeure dans son travail, sans savoir laquelle. Après deux années de recherche, il a enfin découvert le défaut dans sa configuration du problème : la forme résultant de la coupe d’une bande de Möbius selon un angle particulier ne donne pas un parallélogramme, mais un trapèze. Les résultats de l’étude ont été publiés dans la revue arXiv.